2.3 Die Rekonstruktion

Die Transmission der Strahlen ist die einzige gemessene Größe, wenn man Entfernungen, Winkel und Anfangsintensitäten als bekannt voraussetzt. Sie wird als Das eindimensionale Projektionsergebnis Überlagerung aller Absorptionskoeffizienten der Probe entlang des Strahlenverlaufs betrachtet, also als Linienintegral

$$I_{aus} = I_{ein} \cdot e^{-\int_{s_1}^{s_2} \mu(s) ds}$$

wobei s₁ und s₂ die Ein- und Austrittspunkte des Strahls in die Probe sind. Der Absorptionskoeffizient $\mu$ ist von der zurückgelegten Strecke, also vom jeweiligen Ort in der Probe abhängig. Gemessen wird das Verhältnis von austretender zu eintretender Intensität P:

 

$$-1 \cdot ln\left(\frac{R_{aus}}{R_{ein}}\right)$$ P_s =

$$-1 \cdot ln\left[ e^{-\int_{s_1}^{s_2} \mu(s) ds} \right]$$ =

$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} \mu(s) ds$$ = (1)

Hier wurden die Grenzen des Integrals in das Unendliche verschoben, da man die Strahlung außerhalb der Probe als nicht gedämpft betrachtet.

Der gemessene Strahl charakterisiert also das Integral der Dämpfung entlang seines Weges.

Das Problem, das sich nun stellt, ist die eindeutige Rekonstruktion eines Objektes anhand dieses Quotienten. Dies ist ein allgemeines Problem, das auf verschiedene Arten mathematisch lösbar ist. Zunächst müssen jedoch weitere Projektionen existieren, da sonst die Rekonstruktion unmöglich ist. Das bedeutet, daß die Probe aus möglichst vielen unterschiedlichen Winkeln projiziert werden muß.

De facto führt man eine nach dem Mathematiker Radon bezeichnete Radontransformation durch - man bildet also eine Radontransformation zweidimensionale Funktion (die Verteilung des Absorptionskoeffizienten $\mu_{Probe}$ über der betrachteten Schicht) auf Linienintegrale ab. Radon bewies auch die Umkehrbarkeit der Transformation, was bedeutet, daß es theoretisch durchaus möglich ist, die zweidimensionale Funktion anhand der Linienintegrale zu rekonstruieren. Es existieren verschiedene Wege, dies explizit zu erreichen.

Algebraische Rekonstruktion
Bei der Diskretisierung des Problems werden aus den Integralen Summen. Die Formel 1 würde sich dann vereinfachen zu:

 

$$P_j = \sum_{i=0}^{N-1} l_{ij} \cdot \mu_{ij}$$ (2)

wobei mit i die durchstreiften Pixel bezeichnet und mit j die parallelen Strahlengänge gemeint sind. Da die Verteilung der einzelnen $\mu_i$ auf der Fläche noch unbekannt ist, kann man aus der Messung lediglich ein System von linearen Gleichungen aufstellen. Dabei wird Formel 2 einfach als Mittelwert der eigentlichen Absorptionskoeffizienten und Längen betrachten: $P_j = l_j \cdot \mu_j$. Mit verschiedenen Strahlen, die durch den selben Raum gelangen, entsteht dann ein Gleichungssystem:

$${\bf L} \times \vec{\mu} = \vec{p}$$

Hier ist $\vec{p}$ der Vektor der unterschiedlichen Gemessenen Signalabschwächungen, $\vec{\mu}$ der Vektor der mittleren Absorptionskoeffizienten, und ${\bf L}$ die Matrix der Längen l_isind.

Dieses Gleichungssystem hat den Nachteil, daß die Größe der Vektoren die Anzahl der gemessenen Strahlen ist. Will man eine hohe Auflösung erreichen, sind die Gleichungssysteme gigantisch und nur mit hohem technischen Aufwand zu lösen. Erschwerend kommt hinzu, daß das System nur dann eindeutig lösbar ist, wenn alle Zeilen linear unabhängig sind. Dies ist in der Praxis nicht garantierbar.

Iterative Approximation
Das iterative Verfahren ist ein Prädiktor-Korrektor-Verfahren. Man setzt also für den gesuchten Wert einen willkürlich gewählten Wert fest (Prädiktor), berechnet die daraus resultierenden Unstimmigkeiten in dem oben erwähnten Gleichungssystem und erhält somit einen Korrekturfaktor (Korrektor), mit dem der Prädiktor verbessert wird.

Im Falle der Rekonstruktion werden alle $\mu_i$ entlang aller Strahlenverläufe P_j auf den Mittelwert $\mu_i$ gesetzt, also dem eigentlich gemessenen Wert:

$$P_j \neq P_j^{(0)} = \sum_{i=0}^{N-1} l_{ij} \cdot \mu_i^{(0)}$$

$\mu_i^{(0)}$ ist also eine erste Näherung für das tatsächliche $\mu_i$. Für alle Flächenelemente ist dieser Prädiktor bekannt. Vergleicht man nun den aus einem anderen Winkel tatsächlich gemessenen Wert mit der ersten Berechnung, ergibt sich eine Differenz, die dann den Korrektor bestimmt. Für eine befriedigende Abschätzung der tatsächlichen Absorptionskoeffizienten sind zwischen 10 und 100 Iterationen nötig, deren Aufwand quadratisch mit der Anzahl der Bildpunkte steigt. Für den Routineeinsatz ist dieses Verfahren also nicht geeignet.

Fourier-Projektion Die zweidimensionale Fourier-Transformation ist die am leichtesten zu realisierende Rekonstruktionsmethode, da hierfür schnelle Algorithmen existieren (die Fast Fourier Transformation (FFT)), die direkt in Hardware implementiert werden.

Die eindimensionale Projektion einer Schicht j unter dem Winkel $\theta$ wird als Überlagerung von trigonometrischen Funktionen betrachtet. Dieses Signal wird bei der Fourier-Transformation in seine Frequenzanteile zerlegt. Da nun Projektionen unter verschiedenen Winkeln vorhanden sind, werden alle eindimensionalen Projektionen unter ihrem Winkel $\theta$ in einen 2D-Fourier-Raum eingetragen, der dann den zweidimensionalen Frequenzraum der Signale der untersuchten Schicht darstellt. Hier wird auch deutlich, warum möglichst viele Projektionen aus verschiedenen Winkeln benötigt werden: die Übertragung der eindimensionalen fouriertransformierten Signale im Frequenzraum ergibt eine Geradenschar, die sich im Mittelpunkt treffen. Da für die Analyse eine kontinuierlich besetzte Matrix vorhanden sein muß, müssen die Werte der Pixel zwischen den Geraden interpoliert werden. Dies sollte nach Möglichkeit vermieden werden, um Fehler zu vermeiden!